关闭
老人出书 家族出书 单位出书 教师出书
学生出书 自费出书 博客出书 其他出书
 
 

手机:13037972986

电话:0951-7895312 7895346

腾讯QQ在线客服

地址:银川市金凤区新昌西路132号银川当代文学艺术中心图书编著中心园

网址:http://www.csw66.com

 
 
当前位置:网站首页 >> 新书展示 > >> 信息详情

从统一场论到物理学的统一:统一场论

发布日期:2017-05-27 10:11:12 



 图书在版编目(CIP)数据
 从统一场论到物理学的统一 : 统一理论 / 爱达丘耳著. -- 沈阳 : 辽海出版社, 2017.5
 ISBN 978-7-5451-4032-3
Ⅰ. ①从… Ⅱ. ①爱… Ⅲ. ①统一场论-研究Ⅳ. ①O412.2
 中国版本图书馆CIP数据核字(2017)第105742号
      
  
 
                            目录
 

第一章 引   言
  1.1历史的回顾与反思1
  1.2 高维时空不是真实的存在6
  1.3 敢问路在何方13
 
上篇 对立统一的统一桥理论
 
第二章 把引力场和电磁场统一到一个方程中
  2.1爱因斯坦留下的一个信息26
  2.2从史瓦西解到RN解的对比分析28
  2.3广义不定积分——数学分析的新成果33
  2.4爱因斯坦的宿愿是这样实现的36
 
第三章 构建"三大引力理论"的统一之桥
  3.1 微分几何创新尝试——曲体论43
    3.1.1 当今的数学为什么没有曲体论?43
    3.1.2 构造非欧的3维实体,建立“曲体论”48
  3.2统一桥理论之一(空间部分)55
    3.2.1统一桥理论的基本假设55
    3.2.2 为什么引力线是“问号”形状的曲线?70
    3.2.3引力线的模拟方程76
    3.2.4统一曲体理论80
    3.2.5 统一曲体理论的运动方程84
    3.2.6统一曲体理论与牛顿经典理论的异同90
  3.3统一桥理论之二(时间部分)92
    3.3.1 什么是时间弯曲?92
    3.3.2时空弯曲本质上是时间弯曲94
    3.3.3“统一桥理论”的检验实例98
 
下篇 万物之源的统一子理论
 
第四章 统一子——万物之源
  4.1 从统一子到“基本粒子”116
    4.1.1为什么要研究统一子理论?116
    4.1.2统一子的基本物理性质119
    4.1.3粒子模型122
    4.1.4粒子的产生——从宇宙大爆炸谈起126
  4.2关于粒子内禀性质的三个假设132
    4.2.1关于粒子质量的假设133
    4.2.2关于粒子自旋的假设143
    4.2.3 关于粒子电荷的假设160
 
第五章 波与粒子——微观的统一
  5.1关于波粒二象性的思考167
    5.1.1粒子与波——历史的回顾167
    5.1.2 是什么波?169
    5.1.3统一理论关于波粒二象性的假设180
    5.1.4 关于波粒二象性假设的应用举例193
  5.2对德布罗意公式进行修正的尝试199
    5.2.1对德布罗意波长公式的怀疑199
    5.2.2希望与展望203
 
第六章 结语
  6.1 统一理论的总结205
    6.1.1“引电通解”206
    6.1.2“三论联通”207
    6.1.3“万物之源”211
    6.1.4“波粒统一”215
  6.2几点说明226
    6.2.1关于数学工具的创新226
    6.2.2结语的结语227
 
注 释230
参考文献227
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                                                          
第一章 引   言
 
1.1历史的回顾与反思
  统一场论是爱因斯坦受广义相对论启发而诞生的物理学理论,它经历了几个不同的历史阶段。在爱因斯坦的年代,强力和弱力还没有被发现,但爱因斯坦还是为存在两种不同的力——引力和电磁力而感到困惑。他希望能把这两种力统一到一个方程中来,从而证明这两种力不过是同一个大的基本原理的不同表现。从1925~1955年这30年中,爱因斯坦几乎把他全部的精力都用于统一场论的探索。一直在临终前一天,他还在病床上准备他的统一场论的数学计算。爱因斯坦走在了时代的前头。在他的深刻思想的影响下,统一场论已成为物理学的重要研究方向。半个多世纪以后的今天,他的统一场论之梦已经成为现代物理学的圣杯。
  早期统一场论的研究,是以统一引力场和电磁场为目标的。因为当时人类知道的基本相互作用只有引力作用和电磁作用。物理学的几何化,是早期统一场论的基本特征。例如:H.韦耳(H.Weyl)把电磁场和时空尺度变换相联系;卡鲁查(Th.Kaluza)则把电磁势当作五维时空度规张量的部分分量;爱因斯坦则将时空度规或联络从对称的推广为不对称的,然后把不对称部分同电磁场联系起来。经过多年的努力,所有统一引力场和电磁场的努力都没有成功,但对于数学中微分几何的发展起到了很大的推动作用。
  20世纪50年代随着量子力学(QM)、量子场论(QFT)和粒子物理学的兴起,人们已经认识到,自然界中的基本作用力,除了电磁力和引力之外还存在强力和弱力这两种相互作用力。因此统一场论的研究目标也随之扩大。当今的统一场论,已经发展成为包罗强相互作用、电磁相互作用、弱相互作用和引力相互作用进行统一描述和揭示其共同本质和内在联系的物理理论。现在大家接受的电弱统一理论,是一种自发破缺的规范理论。这个理论取得了很大的成功,它所预言的中间玻色子已于1983年发现,这是对电弱统一理论的重要支持。电弱统一理论认为,在能量超过100GeV时电磁力和弱力之间的差别就会消失。在电弱统一理论成功的鼓舞之下,人们试图依照电弱统一理论的同样观念和方法(即规范场加自发对称性破缺),来实现强、电磁和弱三种相互作用的统一,即所谓的大统一理论(GUT)。目前,量子色动力学(QCD)是实现这一设想最有希望成功的理论之一。这种不包括引力的统一理论是量子理论(即QT,习惯上也叫量子力学,它是指包括量子力学(QM)、量子场论(QFT)在内的描述微观粒子运动及转化的全部量子学说)合理性的证明。因为这一点,有的物理学家把它称做“标准理论”,或者称它是粒子物理学的“标准模型”。沿着标准模型这条思路还有许多关于实现大统一设想的理论(GUT)。例如有人尝试把超对称性(玻色子—费密子对称性)引入大统一理论。还有人讨论超统一(也称做扩充超引力)理论,试图用超对称性同时把引力和其余三种力在1028eV的能量下实现统一。近年来又有一些新的统一场论诞生,例如牛津大学彭罗斯(Roger Penrose)的扭量理论,宾夕法尼亚州大学 Ashtekar新变量理论(圈引力理论)等。但是当把引力纳入之后,这些把四种相互作用统一起来的理论尝试现在还都很不成熟。总之,各种不同层次的统一规范场论,除电弱统一理论外都处在尚不完整的尝试性阶段。
  1984年与统一规范场论标准模型完全不同的弦理论诞生了;很快又发展成超弦理论、M—理论(习惯上也统称为弦理论)。在弦理论中基本的对象不再是只占空间单独一点的粒子,而是只有长度没有其他维度一根无限细的弦。弦理论认为,我们目前观测到的所有粒子(包括轻子、夸克、载力子)和这些粒子的性质(例如质量、电荷等),不过是弦的不同振动方式的反映。弦理论把所有的粒子和它们之间的四种基本相互作用都统一到微观弦的振荡之内。从这个意义上讲,它的确是真正的大统一性质的理论。
  以上关于统一场论历史的回顾,凡是从事理论物理工作的人都是耳熟能详的常识,为什么本文还要提及呢?原因就是为了对提及的这些内容进行反思。反思的目的,就是要弄明白为什么经过这么长的时间,包括爱因斯坦、海森伯在内的这么多的学者,提出这么多的思路或方法,却始终未能攻克统一场论的难关。弄明白难点究竟在什么地方,当今或未来应该朝什么方向前进才是合理的研究方向。以下就是笔者对这些问题的思考。
  首先,通过上述回顾我们可以发现,人类攻克统一场论的历史,主要是从三个不同方向前进的。它们分别是物理学几何化、标准模型和弦理论(当然还有不少其他的理论,只是影响较小罢了)。 爱因斯坦通过物理学几何化成功地创立了广义相对论,建立了与牛顿不同的新的引力理论。但是当爱因斯坦、韦耳、卡鲁查等人试图把引力和电磁力统一起来的时候,却遇到了困难。笔者的研究成果证明,如果只就引力和电磁力二者统一而言,物理学几何化方法还是能够成功的。只是由于量子理论的兴起,强力及弱力的发现,从20世纪30年代末开始,人们纷纷放弃了这一研究方向,只有爱因斯坦坚持不懈直至逝世。笔者深为爱因斯坦精神所感动,决心沿着爱因斯坦的足迹继续前行,在本文中终于实现了只用真空爱因斯坦方程Rab=0 (请注意!不是用传统的爱因斯坦—麦克斯韦方程组),就可以得出,与描述质量为M,电荷为Q的静态球对称恒星外部时空几何RN解(Reissner—Nordstrom线元),等价的YD解。从而证明,爱因斯坦创造的真空引力场方程,不仅可以描述球对称恒星外部引力场的施瓦西解(Schwarzschild vacuum solution),还可以描述静态球对称恒星外部包括电磁场在内的时空几何。本文的这一研究成果为把引力和电磁力二者的宏观统一迈出了关键的一步。(详见本文2.4)。
  其次,对于建立在规范场加自发对称性破缺基础上的标准模型,虽然取得了电弱统一那样的成就,但是让它最终完成统一场论的历史使命,在笔者看来那是十分困难的。最大的困难是如何使引力量子化。引力量子化存在不止一种途径,但从现有资料看来,最有希望的还是正则量子化。例如较有代表性的Ashtekar新变量理论(圈引力理论),在引力量子化方面具有明显的优点。但是该理论推导出的宇宙图像与已知的宇宙图像相差太大,甚至于水火不容(有关内容请参阅Ashtekar et al[2006a,b],Bojowald[2005])。在把经典的广义相对论改造成哈氏形式(正则量子化)方面,新变量理论确实有所突破。但距离把引力、电磁力、强力、弱力四种相互作用进行统一描述和揭示其共同本质和内在联系的目标还很遥远。然而,量子理论的标准模型,把物质粒子之间的力或相互作用的物理本质,理解为是由物质粒子相互交换自旋为整数的粒子——载力子的研究方向,却是十分宝贵的研究方向。它为统一场论准备了良好的理论基础。本文中的“统一桥理论”正是在这一基础之上创立的。“统一桥理论”为经典理论和相对论、量子理论三大理论之间架起了有机统一的互通之桥(详见3.3),开辟了物理学统一的大门。
  再次,弦理论独辟蹊径,把人们对微观世界的认识向比轻子、夸克更微小的尺度迈出了一步。弦理论宣称不同的基本粒子(所有的轻子、夸克、传递四种相互作用的载力子),都是由完全相同的弦构成的。这些粒子之间的区别只是弦振动模式的不同。弦理论不仅是四种作用力的统一理论,而且为我们带来一个包容一切的统一的物理宇宙的描述,一个包罗万象的理论(T.O.E.)。它已经超越了统一场论的目标。斯蒂芬·霍金(Stephen Hawking)把这样的理论称为“物理学的统一”。笔者在接触弦理论的初期,曾经为之欢欣鼓舞,但热情很快冷淡下来。其原因并非是弦理论还有需要个别完善的地方,而是弦理论建立的基础——高维时空为笔者所不能接受(1.2有详细论述)。建立在不真实基础上的理论,不论它的数学描述是多么精美绝伦都不是一个成功的理论。正因如此,本文所有研究都是在四维时空的前提之下进行的。但是,弦理论家从超微观的层面探索物理学的统一,是非常有成功希望的研究方向。笔者正是受弦理论这一研究方向的启发,在四维时空的基础之上,创立了“统一子理论”(统一子相当于弦理论中的弦,详见本文第四章)
 
 
 
 
1.2  高维时空不是真实的存在
  如前所述,本文中的“统一子”就相当于弦理论中的弦。既然如此,本文为什么不在弦理论现有的基础上进行研究而另立门户呢?原因就是笔者认为,高维时空不是真实的存在。因此,建立在不真实基础上的物理理论,不可能是真正科学的理论。
  高维时空概念并不是弦理论家首创的。早在爱因斯坦时代,卡鲁查的统一场论就是5维理论。弦理论则是建立在11维时空(弦理论有多个版本,对于时空维数也不一致,最多的有26维)基础之上的理论。其实所谓高维时空,就是高维空间加上一维时间。大家都承认时间只有一维,分歧就在于对空间的认知上。人类的直觉都能体验到,空间只有长、宽、高三个维度。主张空间不是三维的理论家们所作的各种“论证”,依笔者看来都是不能自圆其说的。
  论证之一是“弯卷说”。“弯卷说”认为,虽然人们日常见到的是只有长、宽、高的三维空间,但其他的空间维度是确实存在的,只是它们弯卷在非常小尺度之内,人们无从觉察到这么小的尺度。斯蒂芬·霍金在《时间简史》书中是这样介绍的:“这正如一根麦秸的表面。如果你近看它,就会发现它是二维的(要用两个数来描述麦秸上的点,一个是沿着麦秸的长度,另一个是绕着圆周方向的距离)。但是,当你远看它时,你看不见它的粗细,而它就显得是一维的(只用沿麦秸的长度来指明点的位置)。对于时空亦是如此。”(“显得”二字下的着重号是笔者所加)(《20》P.220 《》内数字为参考文献编号,以下不再说明)
  
 
 
 
 
  图(1.2.1)(本图转载于《20》P.221  凡是本文转载的图片,版权均为原书所有,笔者向原创者致谢!以下不再一一说明)
  笔者引用《时间简史》中这段文字,并不认为霍金本人是主张高维时空的。因为这段文字,是霍金以第三者角度向读者介绍弦理论家观点的;这从使用“显得”二字即可以看出。笔者认为,任何真实存在的自然之物永远都是三维的,根本没有超过三维或低于三维的物理实在之物。一根麦秸也是三维的,麦秸上的一点只有用三个数(坐标)才能准确地标示该点的位置。霍金介绍的点是特指麦秸表面上的点,这已隐含了一个数,就是从表面到麦秸轴心的距离,这个距离对于粗的地方要比细的地方大些;再加上前面提到的两个数(沿着麦秸的长度和绕着圆周方向的距离),还是三个数,或者叫三个坐标。这在数学上是可以严格证明的,即空间的任何一点,不论采用何种坐标(直角坐标、柱坐标、球坐标或其他坐标)都必须要有三个参数才能确定该点的位置。当然,在人们“远看“一根麦秸时,“看不见它的粗细”,“它就显得是一维的”。物理学的研究对象是客观的自然之物,它不会因为从远处看不到它的粗细,就变成了没有粗细的一维(只有长短)麦秸怪物。不仅麦秸,即使是一根头发丝乃至弦理论家们创立的弦也是要有粗细的。设想一个粗细为零的弦,它能够真实存在吗?人们在研究物理客体的演化规律时,为了便于研究,突出某些重要的研究数据,忽略某些次要的数据,往往使用模型。模型是理想化的客体,是对客体进行适当抽象的人为的概念。诸如零维的“质点”“点电荷”,一维的“弦”二维的“带电面”之类的物理模型。使用这些模型与宣称真实存在非三维的客体是完全不同的。天文学计算允许把地球、太阳甚至像银河系这么大的天体看成一个点,但这决不意味我们的地球真的是数学中的一个点,如果地球真是一个点的话,还能有山川万物和人类自身吗?从认识论的视角而言,数学与物理学有着根本的不同,数学“其合理性的唯一标准就是无矛盾性,也就是逻辑合理性……而物理学除逻辑合理性之外,还要依靠经验取得事实合理性”(《22》P.71)。没有长短、没有宽窄、没有厚薄的0维的点,没有粗细的1维的线,没有厚薄的2维的面;n可以是任意整数的n维向量、n维空间等,对数学而言是不存在任何问题的。但物理学家在使用“质点”概念时,清楚地知道质点只是忽略了研究对象体积大小的物理模型,真实的研究对象是有大小的。学术的抽象与客观世界的实在是不能混淆的。所以从牛顿经典力学创立以来,直到卡鲁查创立五维理论之前,虽然物理学家一直在使用质点、弦之类的非三维的概念,却没有人主张真实空间是非三维的。“弯卷说”对于麦秸这个例子的解释(还有水管等类似例子),毕竟有麦秸这样的实物存在,人们还能理解;但弦理论家对于四维、五维……空间的描述,笔者认为不仅无法理解,而且在逻辑上也是说不通的。
  美国著名的弦理论家B·格林(Brian Greene)在《宇宙的琴弦》一书中,用专门一章讲述多维空间(《21》 P.185 第8章 看不见的维)。在这一章的开头,格林也是以水管为例的,和霍金介绍的基本相同。接着格林通过一幅插图描述了一个五维空间的例子。可以看到,那是在一个画有类似经纬线的方格的平面,在方格每个交叉点(中文书译为网络点)处再画了一个小球(原书有两幅图,另一幅图是用面包圈形状的圆环面代替球面)。这很像中国象棋,只不过在交叉点上摆放的是球形的棋子。(图1.2.2)按格林的说法,这些小球都是二维的很小的球面,不是三维的球体;而且棋盘上不仅是交叉点,而是“每一点”都有一个这样的小球;还把“每一点”三个字换成了与正文不同的黑体字,意在强调不仅仅是网络交叉点有这样的小球,而是每一点都有一个球。书中还特意加注了一个括号,括号内写“为清楚起见,我们只是在延展方向的网络点上画了二维的球面”。按格林的说法平面(棋盘)上的点就是通常三维空间的点,这个点的位置已经由三个参数(三个坐标)确定;小球面上的点是二维的,要由另外两个参数确定,因此总共要用五个参数才能表达该点的位置,那就是五维空间了。
  格林在这章最后还有一幅插图,把网络交叉点上的小球面换成了卡拉比—丘成桐空间(图1.2.3)。据格林介绍,图上的卡—丘空间是六维空间,“典型的卡—丘空间都包含着洞,像唱片或面包圈,甚至像‘面包圈链’……”还讲到这些孔洞可以有“不同的维”,是“多维孔”。“卡—丘空间包含的孔数各不相同,有的是3,但也有4、5、25的,甚至还有多达480的……”按笔者的理解,如果在普通三维空间每一点,再生长出一个很小的480维的卡—丘空间,那么宇宙空间就是483维的空间,需要483个坐标才能确定一个点的位置。
  
   
 
 
 
 
 
 
                    图(1.2.2)(转载于《21》P.200 )
  
 
 
 
 
                    图(1.2.3)(转载于《21》P.208 )
  笔者对于上述多维空间的表述是不赞同的。我们首先对每一点上都有一个二维小球面的五维空间进行分析。笔者认为,没有厚薄的二维面只是个纯数学概念,客观的物理世界根本就不存在这样的实体,只要有厚度(不论它的厚度多么微小)它就是三维的。姑且就算有这样的二维面,也不会“每一点”上都长着这样的怪物。试想前边比作棋盘的那个平面上的点是连续的,两点之间距离为零,而小球面直径即使小到普朗克(Planck.M)长度(1.6×10-35m)也不是零(如果直径是零,小球也就不存在了)。因此只要某一个点(例如图中的网络交叉点)上有了小球,与这个点连续的周围的点就无法再有小球的位置了。笔者认为格林特别强调的“每一点”,是不可能的。插图只在交叉点上画了小球,绝对不是“为清楚起见,我们只是在延展方向的网络点上画了二维的球面”,而是根本就不可能在“每一点”都画上一个小球。再退一步讲,即使在“每一点”上都有一个小球面,那仍然还是三维的。试想在体育馆地板上密麻麻地铺满一层外壳很薄的塑料小球,那就是五维地面吗?如果我们选择体育馆的地面某一墙角为坐标系的原点O,把两边墙壁与地面交线设为X轴和Y轴,再把两边墙壁交线设为Z轴,建立直角坐标系。在这样的坐标系中,不论地板上或是小球上的点就都可以(x.y.z)的形式表达。这仍然是人们常识所认知的三维空间。
  这里补充说明一点。是否能在时空每一点上都生长一个小球面问题,笔者认为,如果空间(或时间)是连续的,那永远是不可能的。但如果空间、时间是量子化的,那还是可能的。所谓时空量子化,就是时间和空间并不是连续的,而是由一个个最小的不能再分割的单元——空间量子、时间量子所构成的。仍以前边讨论的插图为例,这时图上那个平面(棋盘)不再是连续的,而变成了一个个离散的点,相当于图上那些分离的网络点。只要图上每个网络点上都画上了小球面,就实现了“每一点”都有小球面的目标。因为这时两个网络点之间是分离的,而且没有其他的点。这和中国象棋只在交叉点上摆放棋子类似,只要方格交叉点都摆放了棋子,就可以说是棋盘上“每一点”都有了棋子。据资料介绍,有的物理学家是主张时空量子化假说的。即使如此,空间还是三维的。如果前面讨论的体育馆空间量子化了,完整的地板、墙壁都不见了,只有一个个离散的点构成了整个馆内的空间,如果两点间距离能容纳一个小气球,我们就会看到,整个馆内塞满了小气球。这对体育馆而言仍然还是三维空间的体育馆,而不是五维的体育馆。
  其次,关于卡—丘空间(或卡—丘形态),据笔者所知,那是以宾夕法尼亚大学的数学家卡拉以和哈佛大学的数学家丘成桐(Shing-Tung Yau)两人的名字命名的。描写卡—丘空间的数学推证可以说既复杂又玄妙。虽然人们无法在现实世界中看到这样的形态,但笔者丝毫不怀疑它在数学上是经过严格证明的。正如笔者前面分析的那样,数学的逻辑合理性并不等价于经验的合理性。如同欧几里德几何中点、线、面的概念一样,物理学家也可以使用这些概念,但在客观的物理世界中并没有这样的实物。因此,数学的卡—丘空间也不能证明“弯卷说”在自然界的真实性。
  “生物说”是高维时空理论家的另一个创造。这个学说认为,由于人类生活在可见的三维空间中,致使人类进化成了一种三维生物。三维生物的普通人,是无法理解四维、五维乃至十维空间的。这一学说还假想了一种二维生物,这种二维生物本身是扁片状的,生活在二维的平坦世界中。在二维世界中的二维生物只能前后左右运动,谁也没有上下的概念。假设有一天,地球人告诉这些二维生物,你们的平坦世界并不是绝对的平面,而是有非常微小的高低起伏,空间实际是三维的。这些二维生物听后会相信吗?由于它们的科学还不发达,无法验证这些极微小的高低起伏;所以绝大多数二维生物都不会相信地球人的话;只有极个别超天才的二维生物,意识到了极微小的第三维的存在。超天才的二维生物理解了它们的世界也是三维的,其中长度和宽度这两个维度是延展开的,而高度的第三个微度很小,是卷缩看不到的。虽然主张“生物说”的人在具体描述上不尽相同(还有描述一维空间中一维生物的例子),但说法大致和上述介绍基本相同。笔者认为,如果是科幻小说的话,“生物说”还是不错的题材;但对于物理学是不成立的。自然界存在这样的二维生物吗?即使有的话,人类又怎样知道二维生物的空间观念呢!笔者觉得这不是科学的推理,却很像哲学或神学。
  仔细研究有关高维时空理论的文献,你会发现这些文献在说到宇宙空间维数是高于三维时,往往使用“可能”“应该相信”这类的表述,说明这些文献的作者对于高维空间也并不十分肯定。例如B·格林说:“多维的存在,不仅是一种假定……更是弦理论的要求。为了让弦理论有意义,宇宙应该是10维的:9个空间维1个时间维。”(《21》P.203)可见,9维的空间不过是“为了让弦理论有意义”,宇宙就“应该”是这样的。笔者认为,宇宙的维度是客观的存在,没有任何人能设定宇宙的维度,除非这个人就是上帝。我想,弦理论家如果能在4维时空(3维空间、1维时间)中推导出他们需要的结论,他们是不会主张高维时空的。总之,关于高维时空,除了数学的推证之外,没有任何物理学的证明(把高维时空看作一个数学模型还是可以的),真实的宇宙空间只有长、宽、高3个维度,时空永远是4维的。
 1.3敢问路在何方?
  从上述回顾与反思中可以体会到,统一场论的研究目标是一步步地扩大了。从最早的引力与电磁力的统一,扩大到包括强力、弱力四种基本相互作用的统一。弦理论出现后,统一的目标更是扩大了。在这个扩大了的统一中,既包括4种力的统一,更把所有的基本粒子(轻子、夸克和传递力的载力子——光子、W±、Z0、胶子和引力子)在更微观的层面上统一为同一个“基元”。从而使牛顿经典理论、爱因斯坦相对论和量子理论——当今的物理学在超微观层次上统一起来,成为一个包容一切的统一的物理宇宙的描述,一个包罗万象的理论(T.O.E)。它就是霍金说的“物理学的统一”。从“四种力的统一”到“物理学的统一”,并非只是研究范围的扩展,而是物理学发展的必然,也并非是物理学统一大业的终点。按这一发展趋势展望,我们可以预期,在不久的未来,就有可能实现当今的物理学与“暗物质”“暗能量”的统一;这可以称之为“光明物理学”与“黑暗物理学”的统一。对于这个更大的统一,目前还没有一个较好的名称,暂时不妨称之为“物理学的超大统一”吧。(详见本文4.1)。笔者认为,实现这一统一梦想之路,以下是必须经过的路程:
  首先,科学史证明,一个成功的新理论和原有旧理论之间的关系主要是三种情况。其一,新理论和旧理论是完全等价的理论。例如1925年W.K.海森伯(Heisenberg.W.K)等从粒子的粒子性出发,用矩阵的形式来描述粒子的运动规律。1926年E.薛定谔(E.rwin.schr dinger)从粒子的波动性出发,用波动方程来描述粒子体系的运动规律。最后证明,在量子力学中这两种不同表象的描述是完全等价的。其二,是彻底否定旧理论代之以新理论。例如1777年法国化学家拉瓦锡提出的燃烧氧化说,全面推翻了塔斯尔的燃素说。其三,新理论是旧理论应用范围的扩展或进一步的精确化。例如德布罗意(de Broglie, L.V.)在原有光的波粒二象性的基础上,在1923~1924年提出物质波的假说,认为波粒二象性是一切实物粒子普遍具有的属性,扩展了波粒二象性理论的适用范围。(请读者注意!关于波粒二象性中“波”的解释当今是有分歧的,主要有“几率波”和“物质波”两大学说。这也是物理学统一的课题之一。本文在5.1中有详细的分析,并创立了“振移波”这一新概念。在此之前,凡本文提到的波粒二象性,一律是指“几率波”)20世纪物理学的发展史表明,像相对论和量子力学这样非常“革命性”的理论,所以能被人们接受(接受并不意味是最终理论),最根本的原因当然是经受了实验的检验;但从新旧理论的逻辑关系而言,是它们能够实现向经典物理学自然和谐的过渡。例如,狭义相对论当信号速度或物体运动速度u<<c时则过渡到经典力学;广义相对论在弱场低速条件下则过渡为牛顿引力理论;量子力学当普朗克常数■→0时就过渡为经典力学(■为常量,这里■→0是相对而言,是指在所研究的问题里■可以忽略)。笔者认为,上述关于新旧理论关系的分析,是统一场论研究中无法回避的问题。当今由相对论(RT)和量子理论(QT)为两大支柱建立起来的物理学大厦,虽然不是最终理论,但它们取得的辉煌成就是有目共睹的。任何关于统一场论的新理论,都不能对此视而不见。即使某个新理论是自成体系另立门户的理论,也不能对它们置之不理,必须对它们作出科学的否定,在否定的基础上才有提出独立的新理论的可行性,否则是很难被承认的。现在可以从网上或杂志上看到一些声称完成了“统一场论”另立门户的文章。这些文章创造了一些新的概念,然后从这些概念出发推导出一些新的结论;统一的新理论就算完成了。对于相对论(RT)和量子理论(QT)的基本观点,这些另立门户的文章往往是既提不出否定的论据,也不讲继承了哪些合理的内核,不置可否地游离于现代物理学之外。笔者认为,这样的新理论是不太可能成为成功理论的。例如,不论你建立什么样的关于统一场论的学说,都不能避开如何处理广义相对论中爱因斯坦场方程这个困难问题。方程
                      ■                            (1.3-1)
是采用黎曼几何描述引力场的张量方程,它表达的物理意义是物质分布产生引力,而引力表现为时空弯曲。与其他三种相互作用力相比,可以说引力是另类的力。正如霍金所言“引力不像其他种类的力,而只不过是时空不是平坦的这一事实的后果。”(《20》P.40)对于爱因斯坦这一思想,如果算作旧理论的话,任何新理论都是难于处理的。这正是统一场论的难点所在。其一,如果不从时空弯曲的观点,再创立一个与方程(1.3-1)等价的新方程是几乎不可能的。实践已经证明,即使能够创立这样的新方程,新方程表达的物理意义还是时空弯曲,还是另类的力,仍然无法和其他三种相互作用力相统一。事实上在过去的确有人在平直空间的基础上建立引力理论,而且还不止一个;但每个理论都有自身的问题。有趣的是,后人在想办法克服这些问题时,几经修改后得到的竟然也是与爱因斯坦广义相对论完全一样的理论,引力照样还是时空弯曲的表现(详见《4》P.189)。其二,彻底否定方程(1.3-1),这几乎也是不可能的。这一方程精确地解释了水星近日点的剩余进动,预言了光线偏折、引力红移、引力辐射等一系列新的效应。这些预言得到了天文观测的支持或证实。因此至今还没有见到任何能够彻底推翻爱因斯坦引力场方程的理论(讨论方程的某些不足,例如引力常数等还是有的)。其三,可否像德布罗意(de Broglie, L.V.)外延波粒二象性那样,把方程(1.3-1)推广应用到微观领域,进而实现与另外三种力的统一呢?答案也是否定的。量子理论的标准模型认为,两个实物粒子之间的相互作用是通过互相发射与接收载力子而实现的,这与时空几何变化的引力是水火不相容的。总之,能不能妥善处理爱因斯坦引力场方程,就成为统一场论成功与否的关键所在。出路何在?笔者认为应该从增加新的数学工具入手,才有可能突破这一瓶颈难题。没有1854年黎曼几何的诞生,就很难想象1915年爱因斯坦广义相对论的创立。但是1925年以后,爱因斯坦全力探索统一场论时,情况完全不同了。开头几年他非常乐观,以为胜利在望;以后发现困难重重,这时他意识到了现有的数学工具不够用。1928年以后他转入纯数学的探索。当今统一场论研究中遇到的困难,仍然是爱因斯坦当年的困难,即现有的数学工具还是不够用。笔者在本文中,把微分几何中的“曲线论”“曲面论”向前推进一步,参照纤维丛理论,创造出有直观意义的“曲体论”。用这种由纤维构成的真实的“曲体”(例如女人的发型)代替抽象的弯曲空间,再把每一条纤维(发丝)与QT中的引力子运动的世界线联系起来,终于在RT与QT之间架起相通之桥,既保留了爱因斯坦方程,又消除了这一方程与QT标准模型之间的矛盾(详见本文第三章:统一桥理论)。本文的统一桥理论既是创新的理论,也是与RT与QT相衔接的理论。总之,若想成功创立一个统一场论的新理论,就必须对新理论和现有理论之间的关系给出科学的回答。特别是新理论与相对论和量子力学的关系,更应该是新理论必要的内容之一。这是通往统一场论必经之路的第一程,是为互不衔接乃至对立的理论架设联通之桥——“对立统一”。
  其次,从超微观层面入手,发现宇宙万物统一的“基元”——“万物之源”,是通往统一场论必经之路的第二程。爱因斯坦的相对论(RT),虽然是很成功的理论;但由于历史条件的限制,从今日的视角衡量,它还是一个经典理论(现在对“经典物理学”的界定,已与20世纪的前半部分有所不同,当今人们逐渐把“经典”一词变为“非量子”的同义语,而把不考虑量子效应的广义相对论称为“经典广义相对论”,以便同“量子引力论”区别)。很多学者相信广义相对论最终必须同量子理论结合成为一套完整、自洽的量子引力论。然而人们在整合相对论(RT)与量子理论(QT)过程中,越来越认识到这两大理论之间存在难以自洽的矛盾。当把这两个理论的方程混合起来时,得出的结果竟是毫无意义的无限大,而且是不能重整化的无限大。一个物理过程的几率的预言是无限大,这是十分荒谬的(几率是不能大于1的)。出现这样荒谬的原因是两大理论在其内在逻辑上是不自洽的;这是根本性质的矛盾。例如:“量子理论认为任何一个可观测量不能有确定值(除非系统处于该量的本征态),对测量结果只能做概率性预言。然而在广义相对论中所有可观测量(如度规)都有确定值(用世界线描述粒子的历史就是默认粒子在每一时刻有确定位置)。”(《4》P.382)再如,在因果观方面“QT认为,坍缩与关联坍缩是同一体系的同一事件,二者之间不存在因果关系,无所谓RT的“类空、类时间隔”问题” (《8》P.589)。这显然与RT定域因果律不兼容。“费因曼(Feynman)公设中也包含着大量不遵守定域因果律的体现波动涨落的路径,这些量子涨落与RT有着深刻的矛盾”。(《8》P.589~590)这暴露出微观粒子波粒二象性根本上是反对定域描述方式的。此外,为了把RT和QT融合起来,我们必须考察空间的微观性质。QT认为万物都摆脱不了不确定性原理所规定的量子涨落,引力场也不例外。虽然经典理论认为虚空间没有引力场,但QT证明,引力场尽管在平均意义上等于零,实际上却因量子涨落而波荡起伏。关注的空间越小,引力场起伏越大。广义相对论关于引力场是空间弯曲理论的的前提条件——光滑的空间几何概念——被小距离尺度的量子世界的剧烈涨落破坏了。在超微尺度上,量子力学核心的不确定性原理与广义相对论核心的空间(以及时空)的光滑几何模型是针锋相对的。(详见《21》P.126~128)统一桥理论虽然为RT和QT之间架起了互通之桥,但还不是把二者整合为一套完整、自洽的统一理论。RT和QT之间的分歧在现有理论层面上实现统一几乎是不可能的;只有在比轻子、夸克更小的超微观层次上认识自然界,把自然界在更微观的层面上统一为同一个“基元”,才有统一的可能。从人类对自然界的认知过程也证明了这一点,古希腊人为了把五花八门的大千世界得到一个统一的认识,曾设想宇宙万物都是由非常小的原子构成的。原子的发现实现了古希腊人的统一梦想。电子、质子、中子的发现又把100多种不同的原子作了进一步的统一。从这个过程可以看到,弦理论从超微观层面上解决这些矛盾,为我们提供了一个很有想象力的研究方向。这一研究方向不仅有可能实现“四种力的统一”,而且也有可能实现“物理学的统一”(T.O.E),还有可能实现当今的基本物理学与“暗物质”“暗能量”的超大统一。本文第四章的“统一子理论”就是从比轻子、夸克、光子等载力子更小的超微观层次入手,提出了“统一子”乃是宇宙的万物之源的假说;是它构成了所有的基本粒子。统一子的不同运动模式决定了不同基本粒子的不同物理性质(质量、自旋、电荷等)。
  从超微观层次进行统一场论的尝试,普遍遇到了一个困难。这困难就是无法在四维时空(三维空间和一维时间)中得出自洽的数学描述,致使不少研究者(例如弦理论家)最后还是选择了高于三维的空间,进而认为宇宙空间真的就是高于三维的。对于超微观的“基元”则普遍认为是低于三维的实体。例如量子力学中的“基本粒子”被定义为0维的数学中的点,所以当遇到像电子自旋这类问题时就产生了无法克服的困难。霍金说:“量子力学告诉我们,粒子并没有任何很好定义的轴。”(《20》P.88)按笔者理解,像地球仪那样的球(足球、棒球、乒乓球乃至小朋友玩的小玻璃球)让它按固定方向旋转就必然产生一个轴心。从杂技表演的转球我们可以看到,给一个球体指定(定义)一个轴是不困难的。为什么电子自旋就不能定义它的旋转轴呢?就是因为把电子定义为0维的“点”。数学的点本身是没有大小的,自然就无法描述它的轴心是怎样的。笔者认为,不论任何物理学理论都必须从宏观到微观,乃至超微观坚持“三维空间实在论”,只有在这样基础上建立起来的理论才是真实的理论,才是符合客观实际的理论;统一场论当然也毫不例外(这并不妨碍在研究具体问题时对某个维度忽略不计,建立诸如质点、弦等抽象模型)。
  最后,物理学是实验科学,不论多么美妙的理论都必须接受实验的检验。它应该能对已有的实验作出合乎逻辑的诠释,还应作出新的预言。只有这些预言最终得到了实证,这才能视为成功的理论。但对于这个问题也不能绝对化,任何逻辑上自洽的理论假说,学界应持开放宽容的态度,允许它以假说的形式而存在。古希腊的原子假说和哲学家康德的星云假说,不是在几百乃至几千年之后才被证明的吗?即使今天,已为多数物理学家所接受的“引力子”“夸克”“胶子”等概念,也尚未被实验最后证实。
  综上所述,通往统一场论的道路(研究方向)是这样的:首先是创造新的数学工具,对现有各种理论“架桥”,可简称为实现“对立统一”。从而使新的理论能和现有理论,特别是与RT、QT衔接。其次是在坚持实在的物理空间只能是三维空间的前提下,从比轻子、夸克、载力子更微观——超微观的层次入手,找到宇宙万物之源的统一“基元”,可简称为找出“万物之源”,从而实现“物理学的统一”乃至“物理学的超大统一”。还须强调,只有向实验提供新的方向,并接受实验的检验的理论,才是真正的物理学。
 
  
  
                    
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
第二章 把引力场和电磁场统一到一个方程中
 
2.1  爱因斯坦留下的一个信息
  爱因斯坦等先辈在世之时,统一场论的目标,就是把当时已知的引力和电磁力统一到一个方程中来;曾经有过许多设想,但都没有成功。从当今的视角看来,即使成功也只能说是宏观的统一场论。因为没有包含微观世界的弱力和强力,所以还不是当今意义的统一场论。关于爱因斯坦在世时引力和电磁力统一的资料,除了在第一章引言中介绍的以外,其他的很少,涉及爱因斯坦本人的更少。尽管如此,笔者还是从当时出版的P.G柏格曼(Peter Gabriel Bergmann)所著的《相对论引论》(Introduction to the theory of relativity)中,发现了一个与爱因斯坦想法有关的重要线索。在该书第三部分(统一场论)中有一段文字,尽管字数不多,但却是爱因斯坦曾经尝试过的关于统一场论的信息。书中记载爱因斯坦曾和该书作者——柏格曼合作,曾企图建立结构上和广义相对论方程相似的二次微分场方程,他们特别研究了方程
       Gμν  =0                              (2.1-1)
  “他们发现这些方程有一个球对称的静态解以及两个任意的参量,这两个参量可以分别解释为质量和电荷……电荷为零的解是希瓦兹希德(按:即Schwarzschild 又译为史瓦西 )的解”。 爱因斯坦和柏格曼设想遇到的困难,是场方程的解,即弯曲时空度规 gμν当r→∞不能实现gμν → ερσ,而且随着r的增大gμν与ερσ的偏离越大。即“如果‘电荷’不为零,则无穷远处的边界条件不能满足,度规张量与ερσ 的偏离将随r的增加而增加[1](下标[ ]中的数字为本书注释的编号,以下不再说明)。这一结果肯定地证明了Gμν  =0  场方程也不能满足物理事实的要求”。书中在页脚注明“这著作未发表”(《1》P.253~254)。由于这是未发表的著作,全文已无从查找。虽然当时已经出版了不少关于相对论的专门著作,但爱因斯坦亲自为这类专著写序言的却非常少见。P.G柏格曼的《相对论引论》却是一个例外。爱因斯坦亲自为该书写了序言,并给予了很高的评价。由此可见,书中介绍的该书作者与爱因斯坦合作,进行关于统一场论的尝试是真实可信的。爱因斯坦和柏格曼设想是把方程解中的任意常数C1和C2,解释为质量和电荷。虽然这一尝试没有成功,但却为我们留下一条思路。这就是方程
 Gμν  =0
解中所包含的两个任意常数是很有研究价值的。对于微分方程解中的任意元素(常微分方程解中的任意常数、偏微分方程解中的任意函数)的确定,按纯数学规定只有初始条件和边界条件两类定解条件。按严格意义的数学要求,爱因斯坦和柏格曼设想,既不是初始条件也不是边界条件。从柏格曼上述简单的介绍中,笔者得到了启发。对于很多物理问题(例如广义相对论),物理学家可以依据物理事实,对解中的任意元素予以物理的解释。当然这种物理解释只能对任意元素进行;否则得到的定解就不能符合微分方程解的数学定义(即把方程解代回原方程之后能使原方程为恒等式)。[2]
  按爱因斯坦和柏格曼的思路,笔者设想在真空爱因斯坦方程
Gμν =Rμν - 1/2gμνR=
  的史瓦西真空解(Schwarzschild vacuum solution)(简称史瓦西解)基础上,重新设计解中C1和C2两个任意参量,使这个新解即包含质量(引力场)又包含电荷(电磁场);在一个方程中实现引力场和电磁场二者的统一。当然,上述设想的前提条件就是得到的新解,必须符合物理事实。现在已知描述质量为M、电荷为Q的静态球对称物体外部时空的线元是Reissner—Nordstrom线元(简称RN线元或RN解)(详见《4》P.262)。因此所谓符合物理事实,得出有物理意义的新解,就应该是RN解,至少是与RN解等价;否则是没有任何意义的。
2.2从史瓦西解到RN解的对比分析
  受爱因斯坦思路的启发,笔者实现了只用真空爱因斯坦方程
         Rμν=0             
得出了与RN解完全等价的解(引力、电磁力统一解,简称YD解),初步实现了引力、电磁力二者的宏观的统一(经典的统一场论)。为叙述这一成果,必须对史瓦西解和RN解做一简要的回顾。
  首先,所谓史瓦西解就是满足爱因斯坦方程的静态球对称度规。它在物理上描述一个球对称天体(例如太阳或其它恒星)的外部引力场。史瓦西当时的解法是直接的,但很沉长(《1》P.197~201)。我们今天已经可以用较简单的方法,得出与史瓦西解完全等价的结果(详细解题过程可见《4》P.254~256)。
  (本文如无特殊说明时力学量一律使用G=c=1的几何单位制(system of geometrized units),涉及电磁领域时使用高斯单位制,即真空介电常数ε0=1,这就是所谓的“几何高斯单位制”;如使用其他单位制的表达式时,将给出文字说明)
  已知真空爱因斯坦方程(2.1-2)等价于
                              Rμν=0                            (2.2-1)
   Rμν为里奇张量(Ricci tensor)。静态球对称度规(线元)可以设为■       
它只含有两个待定的一元函数■。通过计算非零的克里斯托菲(Christoffel)符号(简称克氏符)■,求得不恒等于零的里奇张量Rμν;利用Rμν=0,就得到3个关于待求函数■      的微分方程。由其中的两个微分方程得出
                    ■      
  所以       ■  C1为任意常数    
  第三个方程化为   ■               
  其通解为       ■  C2为任意常数  
  所以                                                           
 
  以上得出的任意常数C1和C2就是史瓦西解中的两个任意参量。2.1所讲的爱因斯坦和柏格曼二人设想的,解释为质量和电荷的那两个参量,与此是类似的。因为史瓦西只是为了得出真空引力场的解,所以他令C1=0 、取C2= -2M ,从而得到了著名的史瓦西解:
                                                                   
 
  在国际单位制中:
                                                                  
 
  当r→∞时,史瓦西解(2.2-5)满足趋近平直线元:
                                                                  (2.2-5b)
  其次,RN解它是由莱斯纳—诺斯特隆(Reissner—Nordstrom)首先得出的。是由真空爱因斯坦引力场方程和麦克斯韦(Maxwell)电磁场方程,得出的联立方程组的解(线元)。这一联立方程组可简化为
                                                        
  其中方程左端的Rμν是爱因斯坦场方程的里奇张量,右端的 Tμν是麦克斯韦电磁场的能量动量张量(简称能动张量)。(详见《4》P.262~265)方程(2.2-6)得出的解(线元)是:
   
 
 
  
                                                        
 
  (2.2-7)这个解就是RN解(RN线元)。它描述了质量为M、电荷为Q的球对称恒星(物体)外部的引力场和电磁场,即电磁真空(electrovaccum)引力场。已经证明,电磁真空球对称解必为RN解。显然当电荷Q=0时,RN解(2.2-7)就是史瓦西解(2.2-5);当r→∞时RN解(2.2-7)趋近于平直时空线元(2.2—5b)。 
  RN解完全符合物理事实。换句话说,莱斯纳—诺斯特隆(Reissner—Nordstrom)如果不是使用了爱因斯坦和麦克斯韦(Einstein—Maxwell)两个方程,而是仅用一个方程,就得出了解(2.2-7);那么引力和电磁力二者统一的使命就早已完成了。
  如果对史瓦西解(2.2-5)和RN解(2.2-7),进行对比,我们会发现二者非常相似,只是在g00和g11两项相差一个■那样的分式。假如能利用参量C1和C2使史瓦西解(2.2-5)增添分式■,也就实现了电磁真空的引力场和电磁场的统一。遗憾的是,在现有数学工具条件下这是不可能的。对此分析如下:
  1.按广义相对论原理,球对称恒星(物体)外部的引力场,当r→∞时,线元应趋近平直时空线元(2.2—5b)。而带有参量C1和C2 的初始的解是:
                                                                  
 
  正是这个解选取C1=0 、C2= -2M最后得到了著名的史瓦西解(2.2-5)。显然,解(2.2-8)只能选取C1=0,才能在 r→∞时,趋近平直时空线元(2.2—5b)。
  除上述条件外,已知式(2.2-2)原设的待解度规,             和■,而且史瓦西解(2.2-5)和RN解(2.2-7)解出后的度规分量都有下列关系
这并非巧合,而是表明方程都带有边界条件■(在国际单位制是■)
由式(2.2-4)

显然,受上述条件限制,也只有C1=0 才能满足式(2.2—9)。综上,参数C1只能选择C1=0,而且这是唯一的选择。
  2.参量C2虽有多种选择,但不论选择任何常量,史瓦西解(2.2-5)都不可能增添出分式■ (分母不是常量),从而得不出RN解。而让C2含有变量r这又是现有数学规则所不允许的。因为微积分法则

中的C必须是常量(但可以是任意的常量)。
  从上述分析可以确认,如果不增添新的数学工具,在现有数学规则条件下,仅从爱因斯坦一个方程,通过调整参量C1和C2想得出RN解,是绝对不可能的。笔者猜想(因原文未曾公开发表,故只能根据柏格曼的简单介绍而猜想)爱因斯坦和柏格曼当年所遇到的困难,应该就是此类难题;最后不得不放弃了这一想法。
  综上所述:按上述思路,可以把引力和电磁力的宏观统一界定为:在符合数学运算规则的前提下,仅用一个方程(例如Rμν =0),就能够得出(2.2-7)的结果。按着这一界定,出路只有三个,一是设计出不同于爱因斯坦方程的新方程 ;二是研究新的数学工具;三是一、二两项同时使用。
 
2.3广义不定积分——数学分析的新成果
  在2.2的三条出路中,由于笔者坚信爱因斯坦方程是人类智慧的宝藏,大有开发价值,不需再创新的方程;所以选择了二,即研究新的数学工具。以下转入纯数学——微积分学的讨论。
  定义1:如果■在区域D内存在■而且■
  则称■是关于■的求导参变量(简称求导参量)。在不导致混淆的前提下,也可称■的求导参量。
  例1. 如果■   
   ■,■
  即■ ∴ u2是sin3x的求导参变量(■的求导参量)。从本例可以看到,在加号后面,除■外任何不含x的其他函数都是 x的求导参量;因此如果存在一个关于f(x)的求导参变量,就会有无穷多个关于f(x)的求导参变量。
  例2. 若■
   ■ 
  ■
  ■
  ∴ u不是 x的求导参变量
  定理1. 如果h(u)是关于f(x)的一个求导参变量,而且■
            则■(C是任意常数)
  证明:∵h(u)是关于f(x)一个的求导参变量
    ■
    ∴■
  定义2.如函数f(x)是F(x)的一个原函数,h(u)是关于f(x)的一个求导参变量,那么f(x)+h(u)+C称作F(x)的一个广义不定积分(generalized  indefinite  integral )记作f(x)+U=f(x)+h(u)+C
  (U称积分任意元素,U=h(u)+c; h(u)是求导参变量、 C是任意常数)
  显然,当h(u)=0时,广义不定积分就是现在的不定积分(indefinite integral )
  例3.由例1知■是 ■的一个求导参变量;而且■是■的一个原函数,所以■的一个广义不定积分是  ■  
  显然,从定理1和定义2可知广义不定积分性质、基本积分公式、积分计算方法(换元积分法、分部积分法等)和现有的不定积分必然完全相同 (《28》P.360)。
  现在再回到2.2方程(2.2-1)
Rμν=0
的讨论(《4》P.255~256)
关于我们 | 出版流程 | 基本价格 | 新书展示 | 精品图书 | 版权转让 | 咨询回复 | 联系我们 |
宁ICP备20000515号-1 宁公网安备 64010602000777号
中华人民共和国出版物经营许可证号:新出银字第061号  统一社会信用代码:91641100227744848C